对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数{x}=x-[x],则给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是

对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数{x}=x-[x],则给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是

题型:单选题难度:一般来源:合肥模拟
对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数{x}=x-[x],则给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1];②方程{x}=
1
2
有无数个解;③函数{x}是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确的序号是(  )
A.①③B.②④C.①④D.②③
答案
∵函数{x}的定义域为R,又∵{x+1}=(x+1)-[x+1]=x-[x]={x},
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数,∴③是正确的,
当0≤x<1时,{x}=x-[x]=x-0=x,∴函数{x}的值域为[0,1),∴①错误,
当x=
1
2
时,{x}=
1
2
,又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数,∴x=
1
2
+k时(k∈Z),{x}=
1
2
,∴②是正确的,
∵函数{x}是周期为1的函数,∴函数{x}不是单调函数,∴④错误
故选D.
举一反三
函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x3-3ax(a为常数).
(1)当x∈[0,1]时,求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=


a-x
+


x+a2-2
是偶函数,则实数a的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则f(2012)-f(2013)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[1,3]上是(  )
A.增函数B.减函数
C.先增后减的函数D.先减后增的函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+1)=-f(x),若f(1)=4,则f(2010)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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