函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x3-3ax(a为常数).(1)当x∈[0,1]时,求f(x)的解析式;(2)求f(
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x3-3ax(a为常数). (1)当x∈[0,1]时,求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[0,1]上的最大值. |
答案
(1)设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],所以f(-x)=-x3+3ax, 又因为f(x) 是偶函数,所以f(-x)=f(x), 故f(x)=-x3+3ax,x∈[0,1]; (2)x∈[0,1]时,f(x)=-x3+3ax,f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a), ⅰ)当a≤0 时,f′(x)≤0恒成立,f(x)在[0,1]上单调递减. fmax(x)=f(0)=0; ⅱ)当 a>0时,由f′(x)=0得x=, ①当a≥1 时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在[0,1]上单调递增. fmax(x)=f(1)=-1+3a; ②当0<a<1时,f′(x)=-3(x+)(x-), 当0≤x<时,f′(x)>0,f(x)在递增,当<x≤1时,f′(x)递减, 所以fmax(x)=f()=2a. 综上所述:当a≤0时,fmax(x)=0;当a≥1时,fmax(x)=-1+3a;当0<a<1 时,fmax(x)=2a. |
举一反三
若函数f(x)=+是偶函数,则实数a的值为______. |
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则f(2012)-f(2013)=______. |
已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[1,3]上是( )A.增函数 | B.减函数 | C.先增后减的函数 | D.先减后增的函数 |
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已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+1)=-f(x),若f(1)=4,则f(2010)=______. |
下列函数为奇函数的是( )A.y=x+1B | B.y=x3C | C.y=x2+xD | D.y=x2 |
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