已知a,b,c为互不相等的三个正数,函数f(x)可能满足如下性质:①f(x-a)为奇函数;②f(x+a)为奇函数;③f(x-b)为偶函数;④f(x+b)为偶函数
题型:单选题难度:一般来源:不详
已知a,b,c为互不相等的三个正数,函数f(x)可能满足如下性质: ①f(x-a)为奇函数;②f(x+a)为奇函数;③f(x-b)为偶函数;④f(x+b)为偶函数. 类比函数y=sinx的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得出了如下结论: (1)若满足①②,则f(x)的一个周期为4a;(2)若满足①③,则f(x)的一个周期为4|a-b|;(3)若满足③④,则f(x)的一个周期为3|a-b|. 其中正确结论的个数是( ) |
答案
若f(x-a)为奇函数,且f(x+a)为奇函数, ∴f(x+4a)=f(x+3a+a)=-f(-x-3a+a)=-f(-x-2a)=-f(-x-a-a)=f(x+a-a)=f(x) 故f(x)满足①②时,f(x)的一个周期为4a; 若f(x-a)为奇函数,f(x-b)为偶函数,不妨令a>b 则f(x+4a-4b)=f(x+4a-3b-b)=f(-x-4a+3b)=f(-x-3a+3b-a)=-f(x+3a-3b)=f(x+2a-2b)=-f(x+a-b)=f(x) 故f(x)满足①③时,则f(x)的一个周期为4|a-b|; 若f(x-b)为偶函数,f(x+b)为偶函数,则f(x)的一个周期为4b,3|a-b|不一定是函数的周期 故选C |
举一反三
对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数{x}=x-[x],则给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1];②方程{x}=有无数个解;③函数{x}是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确的序号是( ) |
函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x3-3ax(a为常数). (1)当x∈[0,1]时,求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[0,1]上的最大值. |
若函数f(x)=+是偶函数,则实数a的值为______. |
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则f(2012)-f(2013)=______. |
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