已知函数f(x)=(a-12)x2-lnx(a∈R)(I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值;(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立
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已知函数f(x)=(a-12)x2-lnx(a∈R)(I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值;(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=(a-
1
2
)
x
2
-lnx(a∈R)
(I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值;
(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立,求实数a八取值范围.
答案
(I)当a=1时,
f(a)=
1
2
a
2
-1na
(a>0),∴
f′(a)=a-
1
a
∴函数在(0,1)上,f′(a)<0,函数单调递减,在(1,你]上,f′(a)>0,函数单调递增,
∴f(a)在(0,你]上的最小值为f(1)=
1
2
;
(Ⅱ)在区间(1,+∞)上,函数f(a)<2aa恒成立,即
(a-
1
2
)
a
2
-1na-2aa
<0在区间(1,+∞)上恒成立
设g(a)=
(a-
1
2
)
a
2
-1na-2aa
,则g′(a)=(a+1)(2a-1-
1
a
)
a∈(1,+∞)时,a+1>0,0<
1
a
<1
①若2a-1≤0,即a≤
1
2
,g′(a)<0,函数在(1,+∞)上为减函数,∴g(a)<g(1)=-
1
2
-a,
只需-
1
2
-a≤0,即-
1
2
≤a≤
1
2
时,g(a)<0恒成立;
②若0<2a-1<1,即
1
2
<a<1时,令g′(a)=0,得a=
1
2a-1
>1,函数在(1,
1
2a-1
)上为减函数,(
1
2a-1
,+∞)为增函数,
∴g(a)∈(g(
1
2a-1
),+∞),不合题意;
③若2a-1≥1,即a≥1时,g′(a)>0,函数在(1,+∞)上增减函数,∴g(a)∈(g(1),+∞),不合题意
综上可知,-
1
2
≤a≤
1
2
时,g(a)<0恒成立
∴实数a的取值范围是[-
1
2
,
1
2
].
举一反三
函数f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)=2x(x-1),则f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若
α、β∈[-
π
2
,
π
2
]
,且αsinα-βsinβ>0,则下面结论正确的是( )
A.α>β
B.α+β>0
C.α<β
D.α
2
>β
2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数y=2sin(wx+θ)为偶函数,其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x
1
,x
2
,若|x
2
-x
1
|的最小值为π,则该函数在区间( )上是增函数.
A.
(-
π
2
,-
π
4
)
B.
(-
π
4
,
π
4
)
C.
(0,
π
2
)
D.
(
π
4
,
3π
4
)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数y=f(x)=
a
x
2
+1
bx+c
(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其5b∈N且f(1)<
5
2
.试求函数f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=(
1
2
)
x
,那么f
-1
(0)的值为( )
A.2
B.-1
C.0
D.-1
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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