解:(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以, 因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面, 而平面,所以平面平面。 (Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为 =, 又因为, 所以=,当且仅当时等号成立, 从而,而圆柱的体积, 故=当且仅当,即时等号成立, 所以的最大值是。 (ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r), 因为平面,所以是平面的一个法向量, 设平面的法向量, 由,故, 取得平面的一个法向量为,因为, 所以。 |