定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R),且当x≠0时,f(x)≠0.(Ⅰ)求证:f(0
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R),且当x≠0时,f(x)≠0. (Ⅰ)求证:f(0)=0; (Ⅱ)证明:f(x)是偶函数,并求f(x)的表达式; (III) 若f(x)+a>ax对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0, ∴f(0)=2f(0) ∴f(0)=0; (Ⅱ)令x=y=1代入f(xy)=f(x)f(y)∴f(1)=f(1)2, ∵当x≠0时,f(x)≠0, ∴f(1)=1, 令y=x代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y) (x,y∈R), f(2x)=2f(x)+2x2,f(2x)=f(2)f(x), ∴f(2)f(x)=2f(x)+2x2, ∵f(2)=2f(1)+2=4, ∴f(x)=x2,f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数. (III)∵f(x)=x2, ∴由f(x)+a>ax,得x2-ax+a>0, ∴f(x)+a>ax对任意x∈(1,+∞)恒成立, 等价于x2-ax+a>0对任意x∈(1,+∞)恒成立, ∵y=x2-ax+a的图象开口向上,对称轴方程是x=, ∴≤1,解得a≤2. ∴实数a的取值范围是(-∞,2]. |
举一反三
已知函数f(x)=(a-)x2-lnx(a∈R) (I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值; (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立,求实数a八取值范围. |
函数f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)=2x(x-1),则f(x)=______. |
若α、β∈[-,],且αsinα-βsinβ>0,则下面结论正确的是( ) |
已知函数y=2sin(wx+θ)为偶函数,其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则该函数在区间( )上是增函数. |
已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其5b∈N且f(1)<.试求函数f(x)的解析式. |
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