(1)∵3x>0 3x+1≠0函数f(x)的定义域为 R即(-∞,+∞)…(1分) 假设存在实数a使函数f(x)为奇函数, 由f(0)=0得=0解得a=1…(2分), ∴f(x)=f(-x)====-=-f(x) ∴当a=1时,函数f(x)为奇函数…(4分) (2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2 ∵f(x)=a- f(x1)-f(x2)=a--(a-) =- =2(3x1+1)-2(3x2+1) | (3x1+1)(3x2+1) |
=…(7分) ∵x1<x2, ∴3x1<3x2 ∴3x1-3x2<0 又∵3x1+1>0,3x2+1>0 f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2) ∴不论a取何值,函数f(x)在其定义域上都是增函数.…(9分) (3)由f(3m2-m+1)+f(2m-3)<0得f(3m2-m+1)<-f(2m-3) ∵函数f(x)为奇函数 ∴-f(2m-3)=f(3-2m) ∴f(3m2-m+1)<f(3-2m) 由(2)已证得函数f(x)在R上是增函数 ∴f(3m2-m+1)<f(3-2m)⇔3m2-m+1<3-2m ∴3m2+m-2<0 ∴(3m-2)(m+1)<0 ∴-1<m<. 不等式f(3m2-m+1)+f(2m-3)<0的解集为{m|-1<m<}.…(14分) |