已知函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=ex+x2.(I)求f(x)和g(x)的解析式;(II)若h(x)=f(x)-12ex-x2-

已知函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=ex+x2.(I)求f(x)和g(x)的解析式;(II)若h(x)=f(x)-12ex-x2-

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=ex+x2
(I)求f(x)和g(x)的解析式;
(II)若h(x)=f(x)-
1
2ex
-x2-
1
2
x,求当x为何值时,h(x)取到最值,最值是多少?
答案
(I)因为函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
又因为f(x)+g(x)=ex+x2,①
所以f(-x)+g(-x)=e-x+x2,即f(x)-g(x)=e-x+x2,②
由①②得,f(x)=
1
2
ex+
1
2
e-x+x2
,g(x)=
1
2
ex-
1
2
e-x

(II)h(x)=
1
2
ex-
1
2
x,则h′(x)=
1
2
ex-
1
2

令h′(x)=0得x=0,
当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,当x>0时,h′(x)>0,h(x)递增,
所以当x=0时,h(x)取得极小值,也为最小值,h(x)min=h(0)=
1
2
举一反三
下列函数中,既是偶函数,且在区间(0,+∞)内是单调递增的函数是(  )
A.y=x
1
2
B.y=cosxC.y=|lnx|D.y=2|x|
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(2,4)时,f(x)=x+3,则f(2011)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)满足条件:当x1,x2∈[-1,1]时,有|f(x1)-f(x2)|≤3|x1-x2|成立,则称f(x)∈Ω.对于函数g(x)=x3,h(x)=
1
x+2
,有(  )
A.g(x)∈Ω且h(x)∉ΩB.g(x)∉Ω且h(x)∈ΩC.g(x)∈Ω且h(x)∈ΩD.g(x)∉Ω且h(x)∉Ω
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+
b
x
+5,且f(7)=9,则f(-7)=(  )
A.-1B.14C.12D.1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则f(
a2+b2
5
)
=(  )
A.1B.3C.
5
2
D.不存在
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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