已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）-a2＞2恒成立，求
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）-a2＞2恒成立，求a的取值范围． |
答案
（1）f"（x）=3x2-2bx+6．---------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点．
∴f"（2）=0，即2是方程3x2-2bx+6=0的一个根，解得b=．----------------------（3分）
所以f"（x）=3x2-9x+6
令f"（x）＞0，则3x2-9x+6＞0，解得x＞2或x＜1．-----------------------（5分）
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．-----------------------（6分）
（2）∵当1＜x＜2时f"（x）＜0，当x＞2或x＜1时，f"（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）内单调递减，f（x）在（2，3）内单调递增．-------------------（8分）
∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2），同时在区间[1，3]上的也是最小值，且 f（2）=a+2．------------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a2＞2恒成立，只需f（2）＞a2+2，即a+2＞a2+2，------------------（12分）
解得 0＜a＜1．------------------（13分）
即的取值范围是0＜a＜1． |
举一反三
若偶函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）| A．f（-）＜f（-1）＜f（2） | B．f（-1）＜f（-）＜f（2） | | C．f（2）＜f（-1）＜f（-） | D．f（2）＜f（-）＜f（-1） |
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已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围． |
| 已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-1）＜f（-1）的x取值范围是______． |
已知奇函数f（x）在[-1，0]上单调递减，又α，β为锐角三角形的两内角，则有（ ）| A．f（sinα-sinβ）≥f（cosα-cosβ） | | B．f（sinα-cosβ）＞f（cosα-sinβ） | | C．f（sinα-cosβ）≥f（cosα-sinβ） | | D．f（sinα-cosβ）＜f（cosα-sinβ） |
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