已知函数f(x)=x3-bx2+6x+a,x=2是f(x)的一个极值点.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若当x∈[1,3]时,f(x)-a2>2恒成立,求

已知函数f(x)=x3-bx2+6x+a,x=2是f(x)的一个极值点.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若当x∈[1,3]时,f(x)-a2>2恒成立,求

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3-bx2+6x+a,x=2是f(x)的一个极值点.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若当x∈[1,3]时,f(x)-a2>2恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)f"(x)=3x2-2bx+6.---------------------(1分)
∵x=2是f(x)的一个极值点.
∴f"(2)=0,即2是方程3x2-2bx+6=0的一个根,解得b=
9
2
.----------------------(3分)
所以f"(x)=3x2-9x+6
令f"(x)>0,则3x2-9x+6>0,解得x>2或x<1.-----------------------(5分)
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).-----------------------(6分)
(2)∵当1<x<2时f"(x)<0,当x>2或x<1时,f"(x)>0,
∴f(x)在(1,2)内单调递减,f(x)在(2,3)内单调递增.-------------------(8分)
∴当x=2时,f(x)取得极小值f(2),同时在区间[1,3]上的也是最小值,且 f(2)=a+2.------------------(10分)
若当x∈[1,3]时,要使f(x)-a2>2恒成立,只需f(2)>a2+2,即a+2>a2+2,------------------(12分)
解得 0<a<1.------------------(13分)
即的取值范围是0<a<1.
举一反三
若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则下列关系式中成立的是(  )
A.f(-
3
2
)<f(-1)<f(2)
B.f(-1)<f(-
3
2
)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f(-
3
2
D.f(2)<f(-
3
2
)<f(-1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在[-1,1]上的奇函数f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=
2x
4x+1

(1)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)试用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1]上是减函数;
(3)要使方程f(x)=x+b,在[-1,1]上恒有实数解,求实数b的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列是增函数且是奇函数的是(  )
A.y=x-1B.y=x
1
2
C.y=x3D.y=x2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(-1)的x取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)在[-1,0]上单调递减,又α,β为锐角三角形的两内角,则有(  )
A.f(sinα-sinβ)≥f(cosα-cosβ)
B.f(sinα-cosβ)>f(cosα-sinβ)
C.f(sinα-cosβ)≥f(cosα-sinβ)
D.f(sinα-cosβ)<f(cosα-sinβ)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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