已知函数f(x)=logax+1x-1,(a>0,且a≠1).(1)求函数的定义域,并证明:f(x)=logax+1x-1在定义域上是奇函数;(2)对于x∈[2

已知函数f(x)=logax+1x-1,(a>0,且a≠1).(1)求函数的定义域,并证明:f(x)=logax+1x-1在定义域上是奇函数;(2)对于x∈[2

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=loga
x+1
x-1
,(a>0,且a≠1).
(1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga
x+1
x-1
在定义域上是奇函数;
(2)对于x∈[2,4],f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立,求m的取值范围.
答案
解 (1)由
x+1
x-1
>0,解得x<-1或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=loga
-x+1
-x-1
=loga
x-1
x+1
=-loga
x+1
x-1
=-f(x),
∴f(x)=loga
x+1
x-1
在定义域上是奇函数.
(2)由x∈[2,4]时,f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立,
①当a>1时,
x+1
x-1
m
(x-1)2(7-x)
对x∈[2,4]恒成立.
∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立.
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4]
则g(x)=-x3+7x2+x-7,
g′(x)=-3x2+14x+1,
∴当x∈[2,4]时,g′(x)>0.
∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15.
∴0<m<15.
②当0<a<1时,由x∈[2,4]时,
f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立
x+1
x-1
<loga
m
(x-1)2(7-x)
对x∈[2,4]恒成立.
∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立.
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4],
由①可知y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,
g(x)max=g(4)=45,∴m>45.
∴m的取值范围是(0,15)∪(45,+∞).
举一反三
判断函数f(x)=
lg(1-x2)
|x-2|-2
的奇偶性.______.
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已知二次函数f(x)=x2-a|x-2|+a.
(1)求证:y=f(x)的图象恒过定点P,Q;
(2)若y=f(x)的最小值为0,求实数a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数y=f(x)(x∈R)对任意实数均满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证f(x)是奇函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若不等式(a2-3a+2) x2+(a-1)x+2>0恒成立,则a的取值范围______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
给出下列四个命题:
①当x>0且x≠1时,有lnx+
1
lnx
≥2

②圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0对称的点M"都在该圆上;
③若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则y=f(x)为偶函数;
④若sinx+cosx=-


2
,则tanx+cotx的值为2;
其中正确命题的序号为 ______.
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