三次函数f(x)=x3-3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
三次函数f(x)=x3-3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是______. |
答案
方法1:可以看作y1=x3,y2=3b(x-1),且y2<y1 x3的图象和x2类似,只是在一,三象限, 由于[1,2],讨论第一象限即可 直线y2过(1,0)点,斜率为3b. 观察可知在[1,2]范围内,直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值. 对y1求导得相切的斜率3(x2),相切的话3b=3(x2),b的最大值为x2. 相切即是有交点,y1=y2 3x2(x-1)=x3 x=1.5 则b的最大值为x2=9/4, 那么b<9/4. 方法2:f(x)=x^3-3bx+3b f"(x)=3x^-3b b≤0时, f(x)在R上单调增,只需f(1)=1>0,显然成立; b>0时,令f"(x)=0 x=±√b--->f(x)在[√b,+∞)上单调增,在[-√b,√b]上单调减; 如果√b≤1即b≤1,只需f(1)=1>0,显然成立; 如果√b≥2即b≥4,只需f(2)=8-3b>0--->b<8/3,矛盾舍去; 如果1<√b<2即1<b<4,必须f(√b)=b√b-3b√b+3b>0 -b(2√b-3)>0 √b<3/2 b<9/4, 即:1<b<9/4 综上:b<9/4 |
举一反三
判断下列函数的奇偶性 (A)f(x)=______; (B)f(x)=ln(-x)______; (C)f(x)=______; (D)f(x)=+,(a>0,a≠0)______. |
已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(log2x)>0的解是______. |
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么它在[-7,-3]上的______(填“增”或“减”)函数,最______(填“大”或“小”)值为______. |
函数f(x)=(x-1).,x∈(-1,1)奇偶性为______. |
是否存在实数a,使得f(x)=ln(+x)-a为奇函数,同时使g(x)=x(+a)为偶函数?证明你的结论. |
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