是否存在实数a，使得f(x)=ln(x2+e+x)-a为奇函数，同时使g(x)=x(12x-1+a)为偶函数？证明你的结论．

题型：解答题难度：一般来源：不详

是否存在实数a，使得f(x)=ln(

x2+e

+x)-a为奇函数，同时使g(x)=x(

1

2x-1

+a)为偶函数？证明你的结论．

答案

假设存在实数a满足题设条件，则

f(x)+f(-x)=ln( x2+e +x)-a+ln( x2+e -x)-a

=ln[(

x2+e

+x)(

x2+e

-x)-2a=lne-2a=1-2a=0⇒a=

1

2

又当a=

1

2

时，g(x)=

x(2x+1)

2(2x-1)

，
g(-x)=

-x(2-x+1)

2(2x-1)

=-

x(1+2x)

2(1-2x)

=

x(2x+1)

2(2x-1)

=g(x)
∴g（x）为偶函数．
综上所述，存在a=

1

2

满足题设条件．