已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(20

已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(20

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-
3
4
,0)
对称,且满足f(x)=-f(x+
3
2
)
,f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2006)的值为______.
答案
∵函数f(x)满足f(x)=-f(x+
3
2
)

∴f(x+3)=f[(x+
3
2
)+
3
2
]
=-f(x+
3
2
)
=f(x)
即f(x)是一个以3为周期的周期函数
又∵函数f(x)的图象关于点(-
3
4
,0)
对称,
∴f(x)=-f(-
3
2
-x),又函数f(x)满足f(x)=-f(x+
3
2
)

∴f(-
3
2
-x)=f(x+
3
2
)

即f(x)=f(-x)
故函数f(x)为定义在R上的偶函数
又∵f(-1)=1,f(0)=-2,
∴f(1)=f(-1)=f(2)=1
∴f(3k)=-2,f(3k+1)=1,f(3k+2)=1,k∈Z
∴f(1)+f(2)+…+f(2006)=f(1)+f(2)=1+1=2
故答案为2
举一反三
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围;
(3)当m=2时,如果函数g(x)=-f(x)-ax的图象与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)且0<x1<x2.求证:g′(px1+qx2)<0(其中正常数p,q满足p+q=1,且q≥p).
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若函数f(x)=sinx+m-1是奇函数,则m=(  )
A.1B.0C.2D.-1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-
1
f(x)
,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则f(2009.5)=______.
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对任意实数x,若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,则实数k的取值范围是(  )
A.k>1B.k=1C..k≤1D..k<1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=a|x|-
1
ax
(其中a>0且a≠1,a为实数常数).
(1)若f(x)=2,求x的值(用a表示);
(2)若a>1,且atf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围(用a表示).
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