设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围; (3)当m=2时,如果函数g(x)=-f(x)-ax的图象与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)且0<x1<x2.求证:g′(px1+qx2)<0(其中正常数p,q满足p+q=1,且q≥p). |
答案
(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x,即 m≤ 记 φ=,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min. 求得 φ′(x)= 当x∈(1,e)时;φ′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0 故φ(x)在x=e处取得极小值,也是最小值, 即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e. (2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根. 令g(x)=x-2lnx,则 g′(x)=1- 当x∈[1,2)时,g′(x)<0,当x∈(2,3]时,g′(x)>0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数. 故g(x)min=g(2)=2-2ln2 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3), ∴只需g(2)<a≤g(3), 故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3〕 (3)∵g′(x)=-2x-a,又f(x)-ax=0有两个实根x1,x2, ∴ | 2lnx1-x12-ax1=0 | 2lnx2-x22-ax2=0 |
| | 两式相减,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2) ∴a=-(x1+x2),(x1>0,x2>0) 于是 g/(px1+qx2)=-2(px1+qx2)-+(x1+x2) =-+(2p-1)(x2-x1). ∵q>p,∴2q≥1,∵2p≤1,∴(2p-1)(x2-x1)<0. 要证:g′(px1+qx2)<0,只需证:-<0. 只需证:+ln<0.(*) 令 =t∈(0,1),∴(*)化为 +lnt<0 只证 u(t)=lnt+<0即可.u/(t)=+=-= =,>1,0<t<1, ∴t-1<0.∴u′(t)>0,∴u(t)在(0,1)上单调递增,∴u(t)<u(1)=0 ∴u(t)<0,∴lnt+<0. 即:+ln<0.∴g′(px1+qx2)<0. |
举一反三
若函数f(x)=sinx+m-1是奇函数,则m=( ) |
设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则f(2009.5)=______. |
对任意实数x,若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,则实数k的取值范围是( ) |
已知函数f(x)=a|x|-(其中a>0且a≠1,a为实数常数). (1)若f(x)=2,求x的值(用a表示); (2)若a>1,且atf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围(用a表示). |
设f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f′(x)cosx-f(x)sinx>0,且f(-2)=0,则不等式f(x)cosx≥0的整数解是______. |
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