已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+32)=-f(x),且函数y=f(x-34)是奇函数,给出以下四个命题:①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)
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已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+32)=-f(x),且函数y=f(x-34)是奇函数,给出以下四个命题:①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)
题型:填空题
难度:一般
来源:资中县模拟
已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+
3
2
)=-f(x),且函数y=f(x-
3
4
)是奇函数,给出以下四个命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)的图象关于点(-
3
4
,0)对称;
③函数f(x)是偶函数;
④函数f(x)在R上是单调函数.
在上述四个命题中,正确命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)
答案
对于①:∵f(x+3)=-f(x+
3
2
)=f(x)∴函数f(x)是周期函数且其周期为3.①对
对于②:∵y=f(x-
3
4
)是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f(x)的图象是由y=f(x-
3
4
)向左平移
3
4
个单位长度得到.
∴函数f(x)的图象关于点(-
3
4
,0)对称,故②对.
对于③:由②知,对于任意的x∈R,都有f(-
3
4
-x)=-f(
-
3
4
+
x),用
3
4
+x
换x,可得:f(-
3
2
-x)+f(x)=0
∴f(-
3
2
-x)=-f(x)=f(x+
3
2
)对于任意的x∈R都成立.
令t=
3
2
+x,则f(-t)=f(t),∴函数f(x)是偶函数,③对.
对于④:∵偶函数的图象关于y轴对称,∴f(x)在R上不是单调函数,④不对.
故答案为:①②③.
举一反三
已知函数
f(x)=
1-
x
2
1+x+
x
2
(x∈R)
.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若(e
t
+2)x
2
+e
t
x+e
t
-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立,求实数t的取值范围(这里e是自然对数的底数);
(Ⅲ)求证:对任意正数a、b、λ、μ,恒有
f[
(
λa+μb
λ+μ
)
2
]-f(
λ
a
2
+μ
b
2
λ+μ
)≥(
λa+μb
λ+μ
)
2
-
λ
a
2
+μ
b
2
λ+μ
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=
-g(x)+n
2g(x)+m
是奇函数.
(1)确定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若f(x)是奇函数,且在区间(-∞,0)上是单调增函数,又f(2)=0,则xf(x)<0的解集为 ______.
题型:填空题
难度:一般
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f(x)是定义域在R上的以3为周期的奇函数f(2)=0,则f(x)=0在(0,6)内的解的个数的最小值是( )
A.2
B.3
C.7
D.5
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=lo
g
a
(
1-mx
x-1
)是奇函数(a>0,a≠1)
.
(1)求m的值;
(2)当a>1,x∈(r,a-2)时f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与r的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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