已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=-g(x)+n2g(x)+m是奇函数.(1)确定y=g(x)的解析式;(2)求m,n的值;
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已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=-g(x)+n2g(x)+m是奇函数.(1)确定y=g(x)的解析式;(2)求m,n的值;
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=
-g(x)+n
2g(x)+m
是奇函数.
(1)确定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)∵指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,
∴g(x)=2
x
;
(2)由(1)知:f(x)=
-
2
x
+n
2
x+1
+m
是奇函数.
因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即
n-1
2+m
=0
,∴n=1;
∴f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+m
,又由f(1)=-f(-1)知
1-
2
4 +m
=-
1-
1
2
1 +m
,∴m=2;
(3)由(2)知f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=-
1
2
+
1
2
x
+1
,
易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数,从而不等式:
f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0等价于f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-k)=f(k-2t
2
),
因f(x)为减函数,由上式推得:t
2
-2t>k-2t
2
,
即对一切t∈R有:3t
2
-2t-k>0,
从而判别式△=4+12k<0,解得:k<
-
1
3
.
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难度:一般
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B.3
C.7
D.5
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难度:一般
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g
a
(
1-mx
x-1
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.
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难度:一般
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题型:填空题
难度:简单
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2
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题型:填空题
难度:一般
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