(1)f(x)的定义域为(1,+∞),f′(x)=-k. 当k≤0时,∵x-1>0,∴f′(x)>0,则f(x) 在(1,+∞)上是增函数. f(x)在(1,+∞)上无极值点. 当 k>0时,令f′(x)=0,则 x=1+. 所以当x∈(1,1+ )时,f′(x)=-k>-k=0, ∴f(x)在∈(1,1+ )上是增函数, 当x∈(1+,+∞) 时,f′(x)=-k<-k=0,∴f(x)在∈(1+,+∞) 上是减函数. ∴x=1+ 时,f(x)取得极大值. 综上可知,当 k≤0时,f(x)无极值点; 当k>0时,f(x)有唯一极值点 x=1+. (2)由1)可知,当k≤0时,f(2)=1-k>0,f(x)≤0 不成立. 故只需考虑k>0. 由1)知,f(x)max=f(1+ )=-lnk, 若f(x)≤0 恒成立,只需 f(x)max=f(1+ )=-lnk≤0 即可, 化简得:k≥1.所以,k 的取值范围是[1,+∞). 3)由2)知,当k=1时,lnx<x-1,x>1. ∴lnn3<n3-1=(n-1)(n2+n+1)<(n-1)(n+1)2. ∴<,n∈N,n>1. ∴+++…+< (3+4+5+…+n+1)=×(n-1) =,n∈N,n>1. |