若关于x的不等式x2+12x-(12)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是______.
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若关于x的不等式x2+12x-(12)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
若关于x的不等式
x
2
+
1
2
x-(
1
2
)
n
≥0对任意n∈N
*
在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是______.
答案
关于x的不等式
x
2
+
1
2
x-(
1
2
)
n
≥0对任意n∈N
*
在x∈(-∞,λ]恒成立,
等价于
x
2
+
1
2
x
≥
(
1
2
)
n
max
对任意n∈N
*
在x∈(-∞,λ]恒成立,
∵
(
1
2
)
n
max
=
1
2
,
∴
x
2
+
1
2
x
≥
1
2
对 x∈(-∞,λ]恒成立.
设
y=
x
2
+
1
2
x
,它的图象是开口向上,对称轴为x=-
1
4
的抛物线,
∴当x≤-
1
4
时,左边是单调减的,所以要使不等式恒成立,则λ
2
+
1
2
λ≥
1
2
,
解得λ≤-1,或
λ≥
1
2
(舍)
当x>-
1
4
,左边的最小值就是在x=-
1
4
时取到,
达到最小值时,
x
2
+
1
2
x
=
(-
1
4
)
2
+
1
2
•(-
1
4
) =-
1
16
,不满足不等式.
因此λ的范围就是 λ≤-1.
故答案为:(-∞,-1].
举一反三
已知函数f(x)=xe
-x
+(x-2)e
x-a
(e≈2.73).
(Ⅰ)当a=2时,证明函数f(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)若a>2时,当x≥1时,f(x)≥
x
2
-2x+1
e
x
恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)=x
3
+2x+1,则f(a)+f(-a)的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若f(x)在x=0处连续,且x≠0时,
f(x)=
1+x
-1
3
1-x
-1
,则f(0)=( )
A.
-
3
2
B.
-
2
3
C.0
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
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设f(x)是
(
x
2
+
1
2x
)
6
展开式的中间项,若f(x)≤mx在区间[
2
2
,
2
]上恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,5)
B.(-∞,5]
C.(5,+∞)
D.[5,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0且对任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立.(1)求函数f(x)的解析式;(2)f(x)>m恒成立,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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