已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0且对任意x∈R,不等式f(x)≥(a
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0且对任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立.(1)求函数f(x)的解析式;(2)f(x)>m恒成立,求m的取值范围. |
答案
(1)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时f(x)>0,当x∈(-2,0)时,f(x)<0 ∴ax2+bx+c=0的两个根为-2和0 将-2和0代入方程ax2+bx+c=0可得c=0,b=2a ∵对任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立 ∴ax2+2ax≥(a-1)x-1恒成立 即ax2+(a+1)x+1≥0恒成立 ∴解得a=1,b=2 ∴f(x)=x2+2x (2)∵f(x)>m恒成立, ∴f(x)min=-1>m 即m的取值范围(-∞,-1) |
举一反三
设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式>0的解集为( )A.(-2,0)∪(2,+∞) | B.(-∞,-2)∪(0,2) | C.(-∞,-2)∪(2,+∞) | D.(-2,0)∪(0,2) |
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已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,其图象均在x轴的上方,对任意的m、n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]n,且f(2)=4,又当x≥0时,其导函数f′(x)>0恒成立. (Ⅰ)求F(0)、f(-1)的值; (Ⅱ)解关于x的不等式:[f()]2≥2,其中k∈(-1,1). |
不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为______. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值,且函数y=f(x)的图象经过点(1,0). (1)求函数f(x)的解析式; (2)设A、B为函数y=f(x)图象上任意相异的两个点,试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由; (3)设函数g(x)=x2+mx+6,若对任意t∈[-2,2]且x∈[-2,2],f(t)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围. |
对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点.若函数f(x)=(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-. (1)试求函数f(x)的单调区间, (2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f()=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-)an+1<<(1-)an (3)在(2)的前题条件下,设bn=-,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010. |
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