已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值,且函数y=f(x)的图象经过点(1,0).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设A、B为函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值,且函数y=f(x)的图象经过点(1,0). (1)求函数f(x)的解析式; (2)设A、B为函数y=f(x)图象上任意相异的两个点,试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由; (3)设函数g(x)=x2+mx+6,若对任意t∈[-2,2]且x∈[-2,2],f(t)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)∵f′(x)=3x2+2ax+b,函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值 ∴即 ∴b=0,a=-3 又∵f(1)=0,∴1-3+c=0 故c=2,从而f(x)=x3-3x2+2 (2)直线AB和直线4x+y-3=0总相交. ∵f"(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,由导数的几何意义可知,直线AB的斜率k≥-3, 而直线4x+y-3=0的斜率为-4, 所以两条直线相交. (3)∵f"(x)=3x2-6x=3x(x-2), ∴f(x)在(-2,0]递增,在(0,2)递减, ∴f(x)在x=0处有最大值2, 所以命题转化为g(x)≥2对x∈[-2,2]恒成立,即x2+mx+4≥0对x∈[-2,2]恒成立, 设h(x)=x2+mx+4则有或或 解得-4≤m≤4. |
举一反三
对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点.若函数f(x)=(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-. (1)试求函数f(x)的单调区间, (2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f()=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-)an+1<<(1-)an (3)在(2)的前题条件下,设bn=-,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010. |
(文科)已知函数f(x)=ax3+bx2+2x-1,g(x)=-x2+x+1,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的一个公共点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直. (1)求实数a,b的值; (2)对任意x1,x2∈[-1,1],不等式f(x1)+k<g(x2)恒成立,求实数k的取值范围. |
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1 (1)求函数f(x)的极值点. (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围. (3)证明:+++…+<(n∈N,n>1). |
函数f(x)=log10(-x)是______(奇、偶)函数. |
已知函数f(x)=,判断f(x)的奇偶性和单调性. |
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