设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式f(x)+f(-x)x>0的解集为( )A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(
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设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式f(x)+f(-x)x>0的解集为( )A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(
题型:单选题
难度:一般
来源:不详
设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式
f(x)+f(-x)
x
>0
的解集为( )
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
答案
∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)
不等式
f(x)+f(-x)
x
>0
,即
2f(x)
x
>0
也就是xf(x)>0
①当x>0时,有f(x)>0
∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0
∴f(x)>0即f(x)>f(2),得0<x<2;
②当x<0时,有f(x)<0
∵-x>0,f(x)=f(-x)<f(2),
∴-x>2⇒x<-2
综上所述,原不等式的解集为:(-∞,-2)∪(0,2)
故选B
举一反三
已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,其图象均在x轴的上方,对任意的m、n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]
n
,且f(2)=4,又当x≥0时,其导函数f′(x)>0恒成立.
(Ⅰ)求F(0)、f(-1)的值;
(Ⅱ)解关于x的不等式:
[f(
kx+2
2
x
2
+4
)
]
2
≥2
,其中k∈(-1,1).
题型:解答题
难度:一般
|
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不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c在x=0和x=2处取得极值,且函数y=f(x)的图象经过点(1,0).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设A、B为函数y=f(x)图象上任意相异的两个点,试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由;
(3)设函数g(x)=x
2
+mx+6,若对任意t∈[-2,2]且x∈[-2,2],f(t)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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对于函数f(x),若存在x
0
∈R,使得f(x
0
)=x
0
,则称x
0
为函数f(x)的不动点.若函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N
*
)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2
.
(1)试求函数f(x)的单调区间,
(2)已知各项不为0的数列{a
n
}满足4S
n
•f(
1
an
)=1,其中S
n
表示数列{a
n
}的前n项和,求证:
(1-
1
a
n
)
a
n+1
<
1
e
<(1-
1
a
n
)
a
n
(3)在(2)的前题条件下,设b
n
=-
1
an
,T
n
表示数列{b
n
}的前n项和,求证:T
2011
-1<ln2011<T
2010
.
题型:解答题
难度:一般
|
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(文科)已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+b
x
2
+2x-1,g(x)=-
x
2
+x+1
,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的一个公共点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)对任意x
1
,x
2
∈[-1,1],不等式f(x
1
)+k<g(x
2
)恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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