设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1(1)试求f(x)的反函数f-1(x)的解析式及f-1(x)的定义域;(2)设g(x)=log
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设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1(1)试求f(x)的反函数f-1(x)的解析式及f-1(x)的定义域;(2)设g(x)=log
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设a∈R,f(x)为奇函数,且
f(2x)=
a•
4
x
-
a
-2
4
x
+1
(1)试求f(x)的反函数f
-1
(x)的解析式及f
-1
(x)的定义域;
(2)设
g(x)=lo
g
2
1+x
k
,是否存在实数k,使得对于任意的
x∈[
1
2
,
2
3
]
,f
-1
(x)≤g(x)恒成立,如果存在,求实数k的取值范围.如果不存在,请说明理由.
答案
(1)因为f(x)为奇函数,且x∈R所以f(0)=0,得a=1,
f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
f
-1
(x)=lo
g
2
1+x
1-x
,x∈(-1,1)
(6分)
(2)假设存在满足条件的实数k.
因为
x∈[
1
2
,
2
3
]
,所以k>0
由f
-1
(x)≤g(x)得
lo
g
2
1+x
1-x
≤lo
g
2
1+x
k
,所以
0<
1+x
1-x
≤(
1+x
k
)
2
,
所以当
x∈[
1
2
,
2
3
]
时,k
2
≤1-x
2
恒成立(10分)
即
k
2
≤(1-
x
2
)
min
=
5
9
,又k>0
所以k的取值范围是
0<k≤
5
3
(14分)
举一反三
已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x
2
+3x+1,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
下列函数中,在其定义域上为奇函数的是( )
A.
f(x)=
2
x
B.f(x)=
1
x+1
C.f(x)=(x-1)
3
D.f(x)=2
x
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数f(x)的定义域为R,且f(x)的值不恒为0,又对于任意的实数m,n,总有
f(m)f(n)=mf(
n
2
)+nf(
m
2
)
成立.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:t•f(t)≥0对任意的t∈R成立;
(3)求所有满足条件的函数f(x).
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若f(x)是R上的奇函数,则函数y=f(x+3)-2的3象必过定点______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
(理科)若函数
f(x)=lo
g
a
2
-1
(2x+1)
在区间
(-
1
2
,0)
内恒有f(x)>0成立,则实数a的取值范围是( )
A.0<a<1
B.a>1
C.
-
2
<a<-1
或
1<a<
2
D.
a>
2
或
a<-
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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