(Ⅰ)f(x)==x++1(x≠0) 设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,…(1分) f(x1)-f(x2)=+--=(x1-x2)(1-)…(4分) ∵0<x1<x2,a<0, ∴x1-x2<0 , 1->0 , (x1-x2)(1-)<0. 即f(x1)<f(x2)…(6分) 所以,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,…(7分) (Ⅱ)解法1:当a≥0,x∈[1,+∞)时,函数f(x)>0,…(9分) 当a<0时,由(Ⅰ)知:函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分) 故当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分) 于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故-2<a<0. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-2,+∞)…(14分) 解法2::f(x)=>0,x∈[1,+∞)恒成立,⇔x2+x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立.…(9分) 设y=x2+x+a,x∈[1,+∞) ∵y=x2+x+a=(x+)2+a-,在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分) ∴当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分) 于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故a>-2. 所以,所求实数a的取值范围是(-2,+∞).…(14分) |