设a,b∈R且a≠2,函数f(x)=lg1+ax1+2x在区间(-b,b)上是奇函数.(Ⅰ)求ab的取值集合;(Ⅱ)讨论函数f(x)在 (-b,b)上的单调性.
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设a,b∈R且a≠2,函数f(x)=lg1+ax1+2x在区间(-b,b)上是奇函数.(Ⅰ)求ab的取值集合;(Ⅱ)讨论函数f(x)在 (-b,b)上的单调性.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设a,b∈R且a≠2,函数
f(x)=lg
1+ax
1+2x
在区间(-b,b)上是奇函数.
(Ⅰ)求ab的取值集合;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在 (-b,b)上的单调性.
答案
(I)函数
f(x)=lg
1+ax
1+2x
在区间(-b,b)内是奇函数
∴对任意x∈(-b,b)都有f(-x)+f(x)=0,
∴
lg
1-ax
1-2x
+
lg
1+ax
1+2x
=
lg
1-
a
2
x
2
1-4
x
2
=0
即
1-
a
2
x
2
1-4
x
2
=1
即a
2
x
2
=4x
2
,此式对任意x∈(-b,b)都成立
∴a
2
=4
又∵a≠2,∴a=-2
代入
1+ax
1+2x
,得
1-2x
1+2x
>0,即-
1
2
<x<
1
2
此式对任意x∈(-b,b)都成立,相当于-
1
2
<-b<b<
1
2
所以b的取值范围是(0,
1
2
]
∴ab的取值集合为[-1,0)
(II)设任意的x
1
,x
2
∈(-b,b),且x
1
<x
2
,由b∈(0,
1
2
]得
所以0<1-2x
2
<1-2x
1
,0<1+2x
1
<1+2x
2
从而f(x
2
)-f(x
1
)=
lg
1-2
x
2
1+2
x
2
-
lg
1-2
x
1
1+2
x
1
=
lg
(1-2
x
2
)(1+2
x
1
)
(1+2
x
2
)(1-2
x
1
)
<lg1=0
∴f(x
2
)<f(x
1
)
因此f(x)在(-b,b)内是减函数
举一反三
设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x
2
若对任意的x∈[t,t+2]不等式f(x)≤4f(x+t)恒成立,则实数t的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=2x
2
+ax-1.
(Ⅰ)若函数是偶函数,求a的值;
(Ⅱ)若函数在(-∞,1)是减函数,求a的取值范围
(Ⅲ)若函数有两个零点,其中一个在(-1,1)上,另一个在(1,2)上,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
lo
g
1
2
(3-2x-
x
2
)
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域;
(Ⅲ)求函数f(x)的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,且为奇函数,若f(m)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
ax+b
1+
x
2
是定义在(-1,1)上的奇函数,其中a、b∈R且
f(
1
2
)=
2
5
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在区间(-1,1)上的单调性,并用单调性定义证明你的结论;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t
2
)<0.
题型:解答题
难度:一般
|
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