已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,其中a、b∈R且f(12)=25(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在区间(-
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已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,其中a、b∈R且f(12)=25(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在区间(-
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
ax+b
1+
x
2
是定义在(-1,1)上的奇函数,其中a、b∈R且
f(
1
2
)=
2
5
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在区间(-1,1)上的单调性,并用单调性定义证明你的结论;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t
2
)<0.
答案
:(1)∵
f(x)=
ax+b
1+
x
2
为奇函数,且 f(
1
2
)=
a•
1
2
+b
1+
(
1
2
)
2
=
2
5
,
∴f(-
1
2
)=
a•(-
1
2
)+b
1+
(-
1
2
)
2
=-f(
1
2
)=-
2
5
,解得:a=1,b=0.
∴f(x)=
x
1+
x
2
.
(2)证明:在区间(-1,1)上任取x
1
,x
2
,令-1<x
1
<x
2
<1,
∴f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
1+
x
1
2
-
x
2
1+
x
2
2
=
(x
1
-
x
2
)(1-
x
1
x
2
)
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
;
∵-1<x
1
<x
2
<1
∴x
1
-x
2
<0,1-x
1
x
2
>0,1+x
1
2
>0,1+x
2
2
>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0即f(x
1
)<f(x
2
)
故函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数.
(3)∵f(t-1)+f(t
2
)<0
∴f(t
2
)<-f(t-1)=f(1-t)
∵函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数
∴
t
2
<1-t
-1<
t
2
<1
-1<1-t<1
∴0<t<
5
-1
2
故关于t的不等式的解集为 (0,
5
-1
2
).
举一反三
已知函数
f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)是奇函数,
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域;
(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)定义在R上,f(x+1)=f(1-x),且满足x≥1,f(x)=lnx,则( )
A.f(
1
3
)<f(2)<f(
1
2
)
B.f(
1
2
)<f(2)<f(
1
3
)
C.f(
1
2
)<f(
1
3
)<f(2)
D.f(2)<f(
1
2
)<f(
1
3
)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=lg(2
x
-b)(b为常数),若x≥1时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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下列函数是偶函数的是( )
A.y=x
B.y=x
-2
C.
y=
2
x
-1
2
x
+1
D.y=x
2
,x∈[0,1]
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)=2
x
可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,则实数a的最小值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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