已知函数f(x)=a-22x+1(x∈R)是奇函数,(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的值域;(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.
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已知函数f(x)=a-22x+1(x∈R)是奇函数,(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的值域;(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)是奇函数,
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域;
(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.
答案
(Ⅰ)因为f(x)在R上是奇函数,
所以f(0)=0,即a-
2
2
0
+1
=0,解得a=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=1-
2
2
x
+1
,
由y=1-
2
2
x
+1
得2
x
=
y+1
1-y
,
因为x∈R,所以2
x
>0,所以
y+1
1-y
>0,解得-1<y<1,
所以f(x)的值域为(-1,1).
(Ⅲ)f(x)在R上是增函数,
任取x
1
<x
2
,f(x
1
)-f(x
2
)=1-
2
2
x
1
+1
-1+
2
2
x
2
+1
=
2(
2
x
1
-
2
x
2
)
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
.
因为x
1
<x
2
,所以
2
x
1
<
2
x
2
,
2
x
1
-
2
x
2
<0,
2
x
1
+1>0,
2
x
2
+1>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
).
所以f(x)在R上是增函数.
举一反三
设函数f(x)定义在R上,f(x+1)=f(1-x),且满足x≥1,f(x)=lnx,则( )
A.f(
1
3
)<f(2)<f(
1
2
)
B.f(
1
2
)<f(2)<f(
1
3
)
C.f(
1
2
)<f(
1
3
)<f(2)
D.f(2)<f(
1
2
)<f(
1
3
)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=lg(2
x
-b)(b为常数),若x≥1时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
下列函数是偶函数的是( )
A.y=x
B.y=x
-2
C.
y=
2
x
-1
2
x
+1
D.y=x
2
,x∈[0,1]
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知f(x)=2
x
可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,则实数a的最小值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=x
2
-ax+c(其中c>0)
(1)试讨论f(x)的奇偶性(直接给出结论,不用证明)
(2)当f(x)为偶函数时,记函数
g(x)=
f(x)
x
,证明:函数g(x)在(0,
c
)上单调递减.
题型:解答题
难度:一般
|
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