已知f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,g(x)=λf(x).(1)求实数a的值;(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,g(x)=λf(x). (1)求实数a的值; (2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围. |
答案
(1)函数f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数, 令f(0)=0,即ln(1+a)=0,解得a=0,故函数f(x)=ln(ex)=x. …(4分) 显然有f(-x)=-f(x),函数f(x)=x是奇函数,满足条件,所求实数a的值为0.…(6分) (2)f(x)=x,g(x)=λx,则λx≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立,…(8分) ∵函数y=log2x在x∈[2,3]上的最小值为log22=1,…(11分) ∴λ≤1,即λ的取值范围为(-∞,1].…(12分) |
举一反三
已知定义域为R的偶函数f(x)=ax+b•a-x(a>0,a≠1,b∈R). (1)求实数b的值; (2)判断并证明f(x)的单调性; (3)若f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+logx2)对任意x∈[2,4]恒成立,求实数m的取值范围. |
y=f(x)为R上的偶函数,且满足f(x+4)=f(4-x),f(6)=3,sinα=2cosα,则f(2sin2α+sinα•cosα)=______. |
下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( ) |
下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( )A.y=x3 | B.y= | C.y=log3x | D.y=()x |
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已知定义在R上的偶函数f(x)对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有>0,则满足f(2x-1)<f()的x 取值范围是______. |
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