(Ⅰ)函数f(x)在R上单调递增.利用导数证明如下: 因为f(x)=2e2x+2x+sin2x, 所以,f"(x)=4e2x+2+2cos2x>0在R上恒成立, 所以f(x)在R上递增.(5分) (Ⅱ)由于f(x)在R上递增,不等式组可化为,对于任意x∈[0,1]恒成立. 令F(x)=x2-2kx+k-4<0对任意x∈[0,1]恒成立, 必有,即,解之得-3<k<4, 再由x2-kx-k+3>0对任意x∈[0,1]恒成立可得k<==(x+1)+-2, 在x∈[0,1]恒成立,因此只需求的最小值,而(x+1)+-2≥2. 当且仅当x=1时取等号,故k<2. 综上可知,k的取值范围是(-3,2).(12分) |