已知:M={a|函数y=2sinax在[-π3,π4]上是增函数},N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解},设D=M∩N,且定义在R上的奇函数f(x

已知:M={a|函数y=2sinax在[-π3,π4]上是增函数},N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解},设D=M∩N,且定义在R上的奇函数f(x

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知:M={a|函数y=2sinax在[-
π
3
π
4
]上是增函数},N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解},设D=M∩N,且定义在R上的奇函数f(x)=
x+n
x2+m
在D内没有最小值,则m的取值范围是______.
答案
∵M={a|函数y=2sinax在[-
π
3
π
4
]上是增函数,可得
T
2
3
且a>0,即
2a
3
,解得a
3
2
,故M={a|a
3
2
}
∵N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解},所以可得N={b|1<b≤2}
∴D=M∩N=(1,
3
2
]
f(x)=
x+n
x2+m
是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0可得n=0
∴f(x)=
x
x2+m
,又f(x)=
x+n
x2+m
在D内没有最小值
∴f(x)=
x
x2+m
=
1
x+
m
x

若m≤0,可得函数f(x)在D上是减函数,函数在右端点
3
2
处取到最小值,不合题意
若m>0,令h(x)=x+
m
x
,则f(x)=
x+n
x2+m
在D内没有最小值可转化为h(x)在D内没有最大值,下对h(x)在D内的最大值进行研究:
由于h′(x)=1-
m
x2
,令h′(x)>0,可解得x>


m
,令h′(x)<0,可解得x<


m
,由此知,函数h(x)在(0,


m
)是减函数,在(


m
,+∞)上是增函数,


m
3
2
时,即m≥
9
4
时,函数h(x)在D上是减函数,不存在最大值,符合题意


m
≤1时,即m≤1时,函数h(x)在D上是增函数,存在最大值h(
3
2
),不符合题意
当1<


m
3
2
时,即1<m<
9
4
时,函数h(x)在(1,


m
)是减函数,在(


m
3
2
)上是增函数,必有h(1)>h(
3
2
)成立,才能满足函数h(x)在D上没有最大值,即有1+m>
3
2
+
m
3
2
,解得m>
3
2
,符合题意
综上讨论知,m的取值范围是m>
3
2

故答案为m>
3
2
举一反三
判断下列函数奇偶性(1)f(x)=(x-1)


1+x
1-x
;(2)f(x)=
lg(1-x2)
|x2-2|-2

(3)f(x)=





x2+x
 ,(x<0)
-x2+x
 ,(x>0)
;         (4)f(x)=
1-cosx+sinx
1+cosx+sinx

(5)f(x)=
x
ax-1
+
1
2
x
(a>0且a≠1);            (6)f(x)=





x2(x-1),x≥0
-x2(x+1),x<0
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设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,而当x∈[2,3]时,g(x)=-x2+4x+c(c为常数).
(1)求f(x)的表达式
(2)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,求证:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|.
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已知函数f(x)=2x+1定义在R上.
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围.
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已知函数f(x)=


3
x
a
+


3
(a-1)
x
(a≠0且a≠1).
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,


6
)
上单调递减,在(


6
,+∞)
上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)(理)记(2)中的函数的图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(文) 记(2)中的函数的图象为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
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(1)已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x∈R恒成立,求证f(x)为偶函数;
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式.
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