设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,而当x∈[2,3]时,g(x)=-x2+4x+c(c为常数).(1)
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,而当x∈[2,3]时,g(x)=-x2+4x+c(c为常数). (1)求f(x)的表达式 (2)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,求证:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|. |
答案
(1)∵g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称 ∴f(x+1)=g(1-x) ∴f(x)=g(2-x) 当-1≤x≤0时,2≤2-x≤3, ∵当x∈[2,3]时,g(x)=-x2+4x+c(c为常数). ∴f(x)=-(2-x)2+4(2-x)+c=-x2+c+4 当0<x≤1时,-1≤-x<0,∴f(-x)=-x2+c+4 由于f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)=x2-c-4 ∴f(x)= | -x2+c+4,(-1≤x≤0) | x2-c-4,(0<x≤1) |
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(2)当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2时,0<x1+x2<2, ∴|f(x2)-f(x1)|=|-|=|(x2-x1)(x2+x1)|<2|x2-x1| ∴|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|. |
举一反三
已知函数f(x)=2x+1定义在R上. (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式; (2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围; (3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=+(a≠0且a≠1). (1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间; (2)已知当x>0时,函数在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式; (3)(理)记(2)中的函数的图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由. (文) 记(2)中的函数的图象为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由. |
(1)已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x∈R恒成立,求证f(x)为偶函数; (2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式. |
已知函数f(x)=2sin2(+x)-cos2x. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若不等式f(x)-m<2在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围. |
设f(x)=,g(x)=asin+5-2a(a>0),若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则a的取值范围是______. |
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