已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若不等式f（x）-m＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，求实数m的取值

题型：解答题难度：一般来源：福建模拟

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
∴f（x）_max=3．
∵不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立∴m＞f（x）_max-2=1即m的取值范围是（1，+∞）．