(Ⅰ)任取x∈[0,1],则-x∈[-1,0],f(-x)=-=e2x-aex, 又f(x)是偶函数,故x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=e2x-aex. 由f(x)是定义域为[-1,1]的偶函数可知,f(x)在x∈[0,1]的最大值即可为f(x)的最大值. 当x∈[0,1]时,令t=ex∈[1,e],f(x)=h(t)=(t-)2-≤,即a≤e+1时,fmax(x)=h(e)=f(1)=e2-ae;>,即a>e+1时,fmax(x)=h(1)=f(0)=1-a; 综上可知: a≤e+1时,fmax(x)=f(1)=e2-ae;a>e+1时,fmax(x)=f(0)=1-a. (Ⅱ)g(x)=(+x-2-)[e2x-f(x)] =(+x-2-)(e2x-e2x+aex)=(+x-2-)•aex=(x2+ax-2a-3)ex 要x∈[0,1]时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方, 即x∈[0,1]时,gmin(x)>e成立, g′(x)f"(x)=(x+a+3)(x-1)ex,令g′(x)=0,解得x1=-a-3,x2=1 ①当-a-3≤0,即a≥-3且a≠0时,可得x∈[0,1]时g′(x)≤0,故g(x)在区间[0,1]单调递减. 此时gmin(x)=g(1)=(-2-a)e>e⇒a<-3,与a≥-3且a≠0矛盾. ②当0<-a-3<1,即-4<a<-3时,可得x∈[0,-a-3]时,g′(x)≥0,x∈[-a-3,1]时g′(x)≤0,可知f(x)在区间[0,-a-3]单调递增.在区间[-a-3,1]单调递减. 此时gmin(x)>e⇔g(0)>e,且g(1)>e, 又g(0)=-2a-3>e⇒a<,g(1)>e⇒a<-3 故-4<a<-3时可满足题意; ③-a-3≥1,即a≤-4时,可得x∈[0,1]时g′(x)≥0,可知g(x)在区间[0,1]单调递增. 此时gmin(x)=g(0)=-2a-3>e⇒a<,又a≤-4.故a≤-4时可满足题意. 综上可知:a<-3时,g(x)的图象恒在直线y=e上方. |