已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a,b∈R)(Ⅰ)求函数|f(x)|的单调区间;(Ⅱ)令t=a2-b.若存在实数m,使得|f(m)|≤14与|f

已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a,b∈R)(Ⅰ)求函数|f(x)|的单调区间;(Ⅱ)令t=a2-b.若存在实数m,使得|f(m)|≤14与|f

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a,b∈R)
(Ⅰ)求函数|f(x)|的单调区间;
(Ⅱ)令t=a2-b.若存在实数m,使得|f(m)|≤
1
4
与|f(m+1)|≤
1
4
同时成立,求t的最大值.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=x2+2ax+b=(x+a)2-(a2-b)
∴①当a2-b≤0时,单调区间为:(-∞,-a]上为减,[-a,+∞)上为增;(2分)
②当a2-b>0时,单调区间为:(-∞,-a-


a2-b
)
减,
(-a-


a2-b
,-a)
增,(-a,-a+


a2-b
)
减,(-a+


a2-b
,+∞)
增(5分)
(Ⅱ)因为:若存在实数m,使得|f(m)|≤
1
4
与|f(m+1)|≤
1
4
同时成立,即为两变量对应的函数值都小于等于
1
4
的两变量之间间隔不超过1,故须对a2-b和-
1
4
1
4
的大小分情况讨论
①当-
1
4
a2-b≤0
时,由方程x2+2ax+b=
1
4
,解得x1,2=-a±


a2-b+
1
4

此时|x2-x1|=2


a2-b+
1
4
≤1
,不满足.(8分)
②当
1
4
a2-b>0
时,由方程x2+2ax+b=
1
4
,解得x1,2=-a±


a2-b+
1
4

此时|x2-x1|=2


a2-b+
1
4
∈(1,


2
)
,满足题意.(11分)
③当a2-b≥
1
4
时,由方程x2+2ax+b=
1
4
,方程x2+2ax+b=-
1
4
和解得x1,2=-a±


a2-b+
1
4
x3,4=-a±


a2-b-
1
4

此时由于|x2-x1|=2


a2-b+
1
4
∈[


2
,+∞)
|x3-x1|=


a2-b+
1
4
-


a2-b-
1
4
=
1
2


a2-b+
1
4
+


a2-b-
1
4


2
4
<1

所以只要|x3-x4|=2


a2-b-
1
4
≤1
即可,此时a2-b≤
1
2
,综上所述t的最大值为
1
2
.(16分)
举一反三
函数y=f(x+1)-
3
2
为奇函数,y=f-1(x)是y=f(x)的反函数,若f(3)=0,则f-1(3)=(  )
A.-1B.1C.-2D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=2x,又a是函数g(x)=ln(x+1)-
2
x
的正零点,则f(-2),f(a),f(1.5)的大小关系是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义域R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,若x∈[-4,-2]时,f(x)≥
1
18
(
3
t
-t)
恒成立,则实数t的取值范围是(  )
A.(-∞,-1]∪(0,3]B.(-∞,-


3
]∪(0,


3
]
C.[-1,0)∪[3,+∞)D.[-


3
,0)∪[


3
,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是实数集R上的奇函数.
(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);
(2)讨论关于x的方程:lng(x)=g(x)•(x2-2ex+m)(m∈R)的根的个数;
(3)设n∈N*,证明:(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n
e
e-1
(e为自然对数的底数).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=x-[x],x∈R(其中[x]表示不超过x的最大整数)的最小正周期是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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