解(1)证:令h(x)=ex-x-1,h"(x)=ex-1, 令h"(x)>0⇒ex-1>0⇒x>0时f"(x)>0;x<0时,f"(x)<0.∴f(x)min=f(0)=0 ∴h(x)≥h(0)=0即ex≥x+1.
(2)∵g(x)是R上的奇函数 ∴g(0)=0∴g(0)=ln(e0+a)=0 ∴ln(1+a)=0∴a=0故g(x)=lnex=x. 故讨论方程lnx=x•(x2-2ex+m)在x>0的根的个数. 即=x2-2ex+m在x>0的根的个数.(m∈R) 令u(x)=,v(x)=x2-2ex+m. 注意x>0,方程根的个数即交点个数. 对u(x)=,(x>0),u′(x)==, 令u"(x)=0,得x=e, 当x>e时,u"(x)<0;当0<x<e时,u"(x)>0. ∴u(x)极大=u(e)=, 当x→0+时,u(x)=→-∞; 当x→+∞时,u(x)==0,但此时u(x)>0,此时以x轴为渐近线. ①当m-e2>即m>e2+时,方程无根; ②当m-e2=即m=e2+时,方程只有一个根. ③当m-e2<即m<e2+时,方程有两个根.
(3)由(1)知1+x≤ex(x∈R), 令x=, i=1,2,,n-1, ∴1-≤e-,于是(1-)n≤(e-)n=e-i,i=1,2,,n-1, ∴()n+()n+…+()n=(1-)n+(1-)n+…+(1-)n+1≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1===<=. |