已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是实数集R上的奇函数.(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);

已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是实数集R上的奇函数.(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是实数集R上的奇函数.
(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);
(2)讨论关于x的方程:lng(x)=g(x)•(x2-2ex+m)(m∈R)的根的个数;
(3)设n∈N*,证明:(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n
e
e-1
(e为自然对数的底数).
答案
解(1)证:令h(x)=ex-x-1,h"(x)=ex-1,
令h"(x)>0⇒ex-1>0⇒x>0时f"(x)>0;x<0时,f"(x)<0.∴f(x)min=f(0)=0
∴h(x)≥h(0)=0即ex≥x+1.

(2)∵g(x)是R上的奇函数
∴g(0)=0∴g(0)=ln(e0+a)=0
∴ln(1+a)=0∴a=0故g(x)=lnex=x.
故讨论方程lnx=x•(x2-2ex+m)在x>0的根的个数.
lnx
x
=x2-2ex+m
在x>0的根的个数.(m∈R)
u(x)=
lnx
x
,v(x)=x2-2ex+m

注意x>0,方程根的个数即交点个数.
u(x)=
lnx
x
,(x>0)
u′(x)=
1
x
•x-lnx
x2
=
1-lnx
x2

令u"(x)=0,得x=e,
当x>e时,u"(x)<0;当0<x<e时,u"(x)>0.
u(x)极大=u(e)=
1
e

当x→0+时,u(x)=
lnx
x
→-∞

当x→+∞时,
lim
x→+∞
u(x)=
lim
x→+∞
lnx
x
=0
,但此时u(x)>0,此时以x轴为渐近线.
①当m-e2
1
e
m>e2+
1
e
时,方程无根;
②当m-e2=
1
e
m=e2+
1
e
时,方程只有一个根.
③当m-e2
1
e
m<e2+
1
e
时,方程有两个根.

(3)由(1)知1+x≤ex(x∈R),
x=
-i
n
, i=1,2,,n-1

1-
i
n
e-
i
n
,于是(1-
i
n
)n≤(e-
i
n
)n=e-i,i=1,2,,n-1

(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n
n
)
n
=(1-
n-1
n
)
n
+(1-
n-2
n
)
n
+…+(1-
1
n
)
n
+1
e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=
1-e-(n-1)-1
1-e-1
=
1-e-n
1-
1
e
=
1-
1
en
1-
1
e
1
1-
1
e
=
e
e-1
举一反三
函数f(x)=x-[x],x∈R(其中[x]表示不超过x的最大整数)的最小正周期是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)等于(  )
A.-1B.0C.1D.4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:对任意实数x都有f(x)≥2x;且当0<x<2时,总有f(x)≤
1
2
(x+1)2
成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求f(-1)的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=f(x)为偶函数,则函数y=f(x+1)的一条对称轴是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log
1
2
(sinx-cosx)

(1)求它的定义域和值域;
(2)求它的单调区间;
(3)判断它的奇偶性;
(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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