已知函数f(x)=log12(sinx-cosx).(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,
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已知函数f(x)=log12(sinx-cosx).(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
log
1
2
(sinx-cosx)
.
(1)求它的定义域和值域;
(2)求它的单调区间;
(3)判断它的奇偶性;
(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.
答案
(1)由题意得sinx-cosx>0即
2
sin(x-
π
4
)>0
,从而得
2kπ<x-
π
4
< 2kπ+π
,
∴函数的定义域为
(2kπ+
π
4
,2kπ+
5π
4
)
(k∈Z).
∵
0<sin(x-
π
4
)≤1
,
故0<sinx-cosx≤
2
,所以函数f(x)的值域是
[-
1
2
,+∞)
.
(2)∵
(sinx-cosx)=
2
sin(x-
π
4
)
令
2kπ-
π
2
≤x-
π
4
≤2kπ+
π
2
解得
2kπ-
π
4
≤x≤2kπ+
3π
4
令
2kπ+
π
2
≤x-
π
4
≤2kπ+
3π
2
解得
2kπ+
3π
4
≤x≤2kπ+
7π
4
结合函数的定义域知
单调递增区间是
[2kπ+
3π
4
,2kπ+
5π
4
)
(k∈Z),
单调递减区间是
(2kπ+
π
4
,2kπ+
3π
4
)
(k∈Z).
(3)因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,
故f(x)是非奇非偶函数.
(4)∵
f(x+2π)=
log
1
2
[(sin(x+2π)-cos(x+2π)]
=f(x),
∴函数f(x)的最小正周期T=2π.
举一反三
若奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数
(1)求满足f(1-a)+f(1-a
2
)<0的集合M
(2)对(1)中的a,求函数F(x)=log
a
[1-
(
1
a
)
x
2
-x
]的定义域.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(0)<f(5)
B.f(-1)<f(3)
C.f(3)>f(2)
D.f(2)>f(0)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
定义域为R的四个函数y=x
3
,y=2
x
,y=x
2
+1,y=2sinx中,奇函数的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
题型:单选题
难度:一般
|
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给出一个不等式
x
2
+1+c
x
2
+c
≥
1+c
c
(x∈R).
经验证:当c=1,2,3时,对于x取一切实数,不等式都成立.
试问:当c取任何正数时,不等式对任何实数x是否都成立?若能成立,请给出证明;若不成立,请求出c的取值范围,使不等式对任何实数x都能成立.
题型:解答题
难度:一般
|
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设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x
4
-x
3
+ax+b≤(x
2
-1)
2
,则ab等于______.
题型:填空题
难度:简单
|
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