已知函数f(x)=x3-2ax2-3x,x∈R.(Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:重庆模拟
已知函数f(x)=x3-2ax2-3x,x∈R. (Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围. |
答案
(I)当a=0时,f(x)=x3-3x,故f"(x)=3x2-3…(1分) 因为当x<-1或x>1时,f"(x)>0 当-1<x<1时,f"(x)<0 故f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.…(5分) (II)由题意可知x3-2ax2-3x≥ax在(0,+∞)上恒成立, 即x2-2ax-(3+a)≥0在(0,+∞)上恒成立.…(7分) 令g(x)=x2-2ax-(3+a), 因为△=(-2a)2+4(a+3)=4(a+)2+11>0…(9分) 故x2-2ax-(3+a)≥0在(0,+∞)上恒成立等价于即解得a≤-3…(12分) |
举一反三
已知函数f(x)同时满足如下三个条件:①定义域为[-1,1];②f(x)是偶函数;③x∈[-1,0]时,f(x)=-,其中a∈R. (Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式,并求出函数f(x)的最大值; (Ⅱ)当a≠0,x∈[0,1]时,函数g(x)=(+x-2-)[e2x-f(x)],若g(x)的图象恒在直线y=e上方,求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…). |
已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a,b∈R) (Ⅰ)求函数|f(x)|的单调区间; (Ⅱ)令t=a2-b.若存在实数m,使得|f(m)|≤与|f(m+1)|≤同时成立,求t的最大值. |
函数y=f(x+1)-为奇函数,y=f-1(x)是y=f(x)的反函数,若f(3)=0,则f-1(3)=( ) |
已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=2x,又a是函数g(x)=ln(x+1)-的正零点,则f(-2),f(a),f(1.5)的大小关系是______. |
定义域R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,若x∈[-4,-2]时,f(x)≥(-t)恒成立,则实数t的取值范围是( )A.(-∞,-1]∪(0,3] | B.(-∞,-]∪(0,] | C.[-1,0)∪[3,+∞) | D.[-,0)∪[,+∞) |
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