∵f(x)=+=(x+), ∴由双钩函数y=x+(m>0)在(-∞,-],[,+∞)上单调递增,在[-,0),(0,]单调递减,可得: ①当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-,0)及(0,), ②当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)及(,+∞); 又当0<a<1时,y=x为R上的增函数,y=为(-∞,0),(0,+∞)上的增函数, ∴③当0<a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)及(0,+∞);(6分) (2)由题设及(1)中③知=且a>1,解得a=3,(9分) 因此函数解析式为f(x)=+(x≠0). (10分) (3)(理)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x、y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0),且p≠p",q≠q",则P"也在曲线C上,列式计算即可; 设P(p,q)为曲线C上的任意一点,P"(p",q")与P(p,q)关于直线l对称,且p≠p",q≠q",则P"也在曲线C上,由此得=k,=-, 且q=+,q′=+,(14分) 整理得k-=,解得k=或k=-, 所以存在直线y=x及y=-x为曲线C的对称轴. (16分) (文)该函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),曲线C的对称中心为(0,0), 因为对任意x∈D,f(-x)=-+=-[+]=-f(x), 所以该函数为奇函数,曲线C为中心对称图形. (10分) |