已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（-x）=f（x）．若方程f（x）=0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为______．

题型：填空题难度：简单来源：上海

答案

设方程f（x）=0的实数解为x₁，x₂，…，x₂₀₀₉，
不妨设x₁＜x₂＜…＜x₂₀₀₉，
又f（-x）=f（x），
∴如存在x₀使f（x₀）=0，则f（-x₀）=0，
∴x₁+x₂₀₀₉=0，x₂+x₂₀₀₈=0，…，x₁₀₀₄+x₁₀₀₆=0，x₁₀₀₅=0，
∴x₁+x₂+…+x₂₀₀₉=0．
故答案为：0．

举一反三

已知函数f（x）=-

x³+x²+b，g（x）=

x+a

x2+1

，其中x∈R
（I）当b=

时，若函数F(x)=

f(x)(x≤2)

g(x)(x＞2)

为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

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已知函数：f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．
（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x²+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

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已知：M={a|函数y=2sinax在[-

，

]上是增函数}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数f(x)=

x+n

x2+m

在D内没有最小值，则m的取值范围是______．

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判断下列函数奇偶性（1）f(x)=(x-1)

1+x

1-x

；（2）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（3）f(x)=

x2+x

，(x＜0)

-x2+x

，(x＞0)

；（4）f(x)=

1-cosx+sinx

1+cosx+sinx

；
（5）f(x)=

ax-1

x（a＞0且a≠1）；（6）f（x）=

x2(x-1)，x≥0

-x2(x+1)，x＜0

．

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设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x+c（c为常数）．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

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