(I)当b=时,函数F(x)为R上的连续函数, ∴g(x)==f(2)=2 ∴a=8 ∵f′(x)=-x2+2x=-x(x-2)令f′(x)>0,0<x<2 ∴当x≤2时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 又g(x)=,g′(x)= 当x∈(2,+∞时,g′(x)<0恒成立, ∴当x>2时,函数g(x)在(2,+∞)上单调递减. 综上可知,函数F(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞) (Ⅱ)对任意x1,x2∈[-1,2],f(x1)<f(x2)恒成立 g(x)max<f(x)min,x∈[-1,2] ∵a=-1 ∴g(x)= 此时g′(x)>0即-x2+2x+1>0 ∴1-<x<1+ 当x∈[-1,2]时,函数g(x)在[-1,1-]上单调递减,在[1-,2]上单调递增. 而g(-1)=-1,g(2)= ∴当x∈[-1,2]时,函数g(x)的最大值为g(2)=. 结合(I)中函数f(x)的单调性可知:当x∈[-1,2]时,f(x)min=f(0)=b ∴g(x)max<f(x)min ∴b> 即实数b的取值范围为b∈(,+∞) |