已知函数f（x）=ex-kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（

题型：解答题难度：一般来源：福建

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞( en+1+2)

（n∈N⁺）．

答案

（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f"（x）=e^x-e．
由f"（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
由f"（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f"（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f"（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f"（x），f（x）的变化情况如下表：

举一反三

题型：单选题难度：简单| 查看答案

题型：填空题难度：一般| 查看答案