设函数f（x）在R上满足f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），且在闭区间[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．（1）求证函数f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）在R上满足f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），且在闭区间[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．
（1）求证函数f（x）是周期函数；
（2）求函数f（x）在闭区间[-10，0]上的所有零点；
（3）求函数f（x）在闭区间[-2012，2012]上的零点个数及所有零点的和． |
答案
（1）由f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），
得f（x）=f（x+10），所以函数f（x）为周期函数，周期为T=10．
（2）由f（8+x）=f（8-x）知f（9）=f（7）=0，f（1）=f（1-10）=f（-9）=0，
f（5）=f（5-10）=f（-5）=0，f（7）=f（7-10）=f（-3）=0，f（9）=f（9-10）=f（-1）=0，
所以函数f（x）在区间[-10，0]上的零点分别有-1，-3，-5，-9．
（3）因为函数的周期是10，由（2）知一个周期内的零点个数为4个，所以在区间[-2010，2010]内零点个数为2×201×4=1608个零点．
又f（2011）=f（1）=f（-9）=0，f（2012）=f（2），f（-2011）=f（-1）=0，f（-2012）=f（-2），
所以2011，-2011也是两个零点，所以在区间[-2012，2012]上共有1608+2=1610个零点．零点之为804． |
举一反三
| 已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是______． |
函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）是减函数，若a+b＞0，则（ ）| A．f（a）-f（b）＞0 | B．f（a）-f（b）＜0 | C．f（a）+f（b）＞0 | D．f（a）+f（b）＜0 |
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已知a＞1，f(logax)=(x-)
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M． |
| ①与不共线，则λ与也不共线；②函数y=tanx在第一象限内是增函数；③函数f（x）=sin|x|，g（x）=|sinx|均是周期函数；④函数f(x)=4sin(2x+)在[-，0]上是增函数；⑤函数f(x)=asin(2x+)+2的最大值为|a|+2；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量；⑦若奇函数f（x）=xcosx+c的定义域为[a，b]，则a+b+c=0．其中正确的命题是______． |
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=2x，则下列不等式不成立的是（ ）| A．f（sinπ）＞f（cosπ） | B．f（sin1）＜f（cos1） | | C．f（sin2）＜f（cos2） | D．f（sin3）＜f（cos3） |
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