已知函数f(x)=1-2x.(Ⅰ)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;(Ⅱ)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.

已知函数f(x)=1-2x.(Ⅰ)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;(Ⅱ)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=1-
2
x

(Ⅰ)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;
(Ⅱ)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=1-
2
x

∴g(x)=f(x)-a=1-a-
2
x
,…(2分)
∵g(x)是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),即1-a-
2
(-x)
=-(1-a-
2
x
)

解之得a=1.…(5分)
(Ⅱ)设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=1-
2
x1
-(1-
2
x2
)
=
2(x1-x2)
x1x2
.(9分)
∵0<x1<x2
∴x1-x2<0,x1x2>0,从而
2(x1-x2)
x1x2
<0
,(11分)
即f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在(0,+∞)内是单调增函数.(12分)
举一反三
如果偶函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值是2,那么f(x)在[-7,-3]上是(  )
A.减函数且最小值是2B..减函数且最大值是2
C.增函数且最小值是2D.增函数且最大值是2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且当x<0时,f(x)>0.
(Ⅰ)验证函数g(x)=ln
1-x
1+x
是否满足上述这些条件;
(Ⅱ)你发现这样的函数f(x)还具有其它什么样的主要性质?试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来,并加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,
1
2
),则此函数是(  )
A..偶函数
B..奇函数
C..非奇非偶函数
D.. 既是偶函数又是奇函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义域为R的函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=
x
x+1

(1)求f(x)的解析式;
(2)证明方程f(x)=21-x在区间(1,2)上有解.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)=
(x+2)(x+m)
x
为奇函数,则实数m=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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