已知定义域为R的函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f(x)=xx+1．（1）求f（x）的解析式；（2）证明方程f（x）=21-x在区间（1，2）上有解．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义域为R的函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f(x)=

x

x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明方程f（x）=2^1-x在区间（1，2）上有解．

答案

（1）当x＜0时，则-x＞0，∴f(-x)=

-x

-x+1

=

x

x-1

，∵f（x）是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=

x

x-1

，∴f(x)=

x x+1 x x-1

(x≥0) (x＜0)

．
（2）令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2）．
∵g(1)=

1

2

-1=-

1

2

＜0，g(2)=

2

3

-

1

2

=

1

6

＞0，∴g（1）•g（2）＜0，
∴方程f（x）=2^1-x在区间（1，2）上有解．