定义在R上的函数f(x)满足①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy  ②f(0)=0,f(π2)=1.(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;(2)求f

定义在R上的函数f(x)满足①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy  ②f(0)=0,f(π2)=1.(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;(2)求f

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy  ②f(0)=0,f(
π
2
)=1

(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)求f(x);
(3)求f(x)+cosx+f(x)•cosx的最大值.
答案
(1)令x=0,得f(y)+f(-y)=0∴f(x)是奇函数.
(2)令y=
π
2

f(x+
π
2
)+f(x-
π
2
)=2f(x)cos
π
2
=0

x=
π
2
,y=x

f(x+
π
2
)+f(
π
2
-x)=2f(
π
2
)cosx=2cosx

由(1),f(x)是奇函数,f(x-
π
2
)+f(
π
2
-x)=0

两式相加:2f(x+
π
2
)=2cosx
f(x)=cos(
π
2
-x)=sinx

(3)即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值
sinα+cosα=t=


2
sin(x+
π
4
)
,则t∈[-


2


2
]

且t2=(sinα+cosα)2=1+2sinα•cosα,即sinα•cosα=
t2-1
2
y=t+
t2-1
2
=
1
2
t2+t-
1
2
t∈[-


2


2
]
t=


2
时,ymax=


2
+
1
2
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则y=f(x)在R上的解析式为(  )
A.f(x)=-x(x+2)B.f(x)=|x|(x-2)C.f(x)=x(|x|-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设f(x)是上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时f(x)=x则f(-8.5)的值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
不等式
t
t2+9
≤a≤
t+2
t2
在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是(  )
A.
1
6
≤a≤1
B.
2
13
≤a≤1
C.
1
6
≤a≤
2
13
D.
1
6
≤a≤2


2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
f(x)=
-2x+a
2x+1+b
(a,b为实常数).
(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(3)求(2)中函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=loga(x-3a)(a>0,且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式;
(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围;
(3)把y=g(x)的图象向左平移a个单位得到y=h(x)的图象,函数F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x),(a>0,且a≠1)在[
1
4
,4]
的最大值为
5
4
,求a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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