设f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实常数）．（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）求（2）中函

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）求（2）中函数f（x）的值域．

答案

（1）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（4分）
（2）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对任意实数x成立，
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，
所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

；（8分）
（3）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；所以函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．（13分）