已知向量a、b、c、d及实数x、y满足|a|=|b|=1,c=a+(x-3)b,d=-ya+xb,若a⊥b,c⊥d且|c|≤10.(1)求y关于x的函数关系式y

已知向量a、b、c、d及实数x、y满足|a|=|b|=1,c=a+(x-3)b,d=-ya+xb,若a⊥b,c⊥d且|c|≤10.(1)求y关于x的函数关系式y

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知向量


a


b


c


d
及实数x、y满足|


a
|=|


b
|=1


c
=


a
+(x-3)


b


d
=-y


a
+x


b
,若


a


b


c


d
|


c
|≤


10

(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)及其定义域;
(2)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx-16恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵


a


b



a


b
=0

|


a
|=|


b
|=1

|


c
|2=


c


c
=[


a
+(x-3)


b
]2
=1+(x-3)2
|


c
|≤


10

∴1+(x-3)2≤10,解得0≤x≤6,
又∵


c


d
,∴


c


d
=0



c


d
=[


a
+(x-3)


b
]•[-y


a
+x


b
]
=-y+x(x-3),
∴-y+x(x-3)=0,
∴y=f(x)=x(x-3),其定义域为[0,6].
(2)当1≤x≤2时,
欲使f(x)≥mx-16恒成立,
即使x2-3x≥mx-16恒成立,
∴mx≤x2-3x+16,
即m≤x+
16
x
-3恒成立,
令g(x)=x+
16
x

g(x)=1-
16
x2

当1≤x≤2时,g′(x)<0,
∴g(x)=x+
16
x
是减函数,
∴[g(x)]min=g(2)=2+
16
2
=10,
∴m≤x+
16
x
-3≤10-3=7
∴m≤7.
举一反三
定义在R上的函数f(x)满足①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy  ②f(0)=0,f(
π
2
)=1

(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)求f(x);
(3)求f(x)+cosx+f(x)•cosx的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则y=f(x)在R上的解析式为(  )
A.f(x)=-x(x+2)B.f(x)=|x|(x-2)C.f(x)=x(|x|-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设f(x)是上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时f(x)=x则f(-8.5)的值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
不等式
t
t2+9
≤a≤
t+2
t2
在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是(  )
A.
1
6
≤a≤1
B.
2
13
≤a≤1
C.
1
6
≤a≤
2
13
D.
1
6
≤a≤2


2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
f(x)=
-2x+a
2x+1+b
(a,b为实常数).
(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(3)求(2)中函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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