已知函数f(x)=2sin2(π4+ωx)-3cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期为2π3(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π6,π2
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已知函数f(x)=2sin2(π4+ωx)-3cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期为2π3(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π6,π2
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=2si
n
2
(
π
4
+ωx)-
3
cos2ωx-1(ω>0)
的最小正周期为
2π
3
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈
[
π
6
,
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)
f(x)=2si
n
2
(
π
4
+ωx)-
3
cos2ωx-1
=
-cos(
π
2
+2ωx)-
3
cos2ωx
=
sin2ωx-
3
cos2ωx
=
2sin(2ωx-
π
3
)(ω>0)
2分
f(x) 的最小正周期为
2π
3
,∴
2π
2ω
=
2π
3
,∴
ω=
3
2
…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
f(x)=2sin(3x-
π
3
)
,5分
当 x∈
[
π
6
,
π
2
]
时,有
3x-
π
3
∈[
π
6
,
7π
6
],则f(x)∈[-1,2]
…7分
∴若不等式|f(x)-m|<2 在x∈
[
π
6
,
π
2
]
上恒成立,
则有-2<f(x)-m<2,即f(x)-2<m<f(x)+2
在x∈
[
π
6
,
π
2
]
上恒成立,…9分
∴(f(x)-2)
max
<m<(f(x)+2)
min
,
f(x)
max
-2<m<f(x)
min
+2…11分
∴0<m<1…12分
举一反三
已知函数
f(x)=x+
1
x
(I)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(II)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数;
(III)函数f(x)在(-1,0)上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求写证明过程).
题型:解答题
难度:一般
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题型:填空题
难度:一般
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2
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题型:填空题
难度:一般
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B.(-2,0)∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪(1,2]
D.(-∞,0)∪(1,2)
题型:单选题
难度:一般
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已知
f(x)=a
x
3
+ln(
x
2
+1
+x)+2
,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )
A.4
B.0
C.2m
D.-m+4
题型:单选题
难度:一般
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