已知函数f(x)=2sin2(π4+ωx)-3cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期为2π3(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π6,π2

已知函数f(x)=2sin2(π4+ωx)-3cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期为2π3(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π6,π2

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2sin2(
π
4
+ωx)-


3
cos2ωx-1(ω>0)
的最小正周期为
3

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
6
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ) f(x)=2sin2(
π
4
+ωx)-


3
cos2ωx-1
=
-cos(
π
2
+2ωx)-


3
cos2ωx

=sin2ωx-


3
cos2ωx
=2sin(2ωx-
π
3
)(ω>0)
2分
f(x) 的最小正周期为
3
,∴
=
3
,∴ω=
3
2
…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(3x-
π
3
)
,5分
当 x∈[
π
6
π
2
]
时,有3x-
π
3
∈[
π
6
6
],则f(x)∈[-1,2]
…7分
∴若不等式|f(x)-m|<2 在x∈[
π
6
π
2
]
上恒成立,
则有-2<f(x)-m<2,即f(x)-2<m<f(x)+2
在x∈[
π
6
π
2
]
上恒成立,…9分
∴(f(x)-2)max<m<(f(x)+2)min
f(x)max-2<m<f(x)min+2…11分
∴0<m<1…12分
举一反三
已知函数f(x)=x+
1
x

(I)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(II)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数;
(III)函数f(x)在(-1,0)上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求写证明过程).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)是R上的奇函数,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是奇函数,当x≤0,时,f(x)=x2-2x,那么当x>0时,f(x)的解析式是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(-∞,0)是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为(  )
A.(-∞,0)∪[2,+∞)B.(-2,0)∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪(1,2]D.(-∞,0)∪(1,2)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=ax3+ln(


x2+1
+x)+2
,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为(  )
A.4B.0C.2mD.-m+4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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