已知定义在R上的函数f(x)同时满足:①对任意x∈R,都有f(x+1)=-f(x)②当x∈(0,1]时,f(x)=x,试解决下列问题:(Ⅰ)求在x∈(2,4]时
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)同时满足: ①对任意x∈R,都有f(x+1)=-f(x) ②当x∈(0,1]时,f(x)=x,试解决下列问题: (Ⅰ)求在x∈(2,4]时,f(x)的表达式; (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=2x+m在(2,4]上有实数解,求实数m的取值范围; |
答案
(Ⅰ)∵对任意x∈R,都有f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x), 又x∈(0,1]时,∴f(x)=x ∴当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1],f(x)=f(x-2)=x-2 当x∈(3,4]时,x-1∈(2,3],f(x)=-f(x-1)=-[(x-1)-2]=3-x ∴x∈(2,4]时,f(x)= (Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+m在(2,4]上的实数解为x0 则或 ∴或∴-5≤m<-4或-9≤m<-6 |
举一反三
已知函数f(x)=是奇函数.则实数a的值为______. |
设f0(x)=sin(x),f1(x)=f0"(x),f2(x)=f1"(x),…,fn+1(x)=fn"(x),n∈N,则f2013(x)=( )A.sinx | B.-sinx | C.cosx | D.-cosx |
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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2. (1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立. |
如果函数f(x)=(a<0)是奇函数,则函数y=f(x)的值域是( )A.[-1,1] | B.(-1,1] | C.(-1,1] | D.(-∞,-1)∪(1,+∞) |
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已知函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取极小值-. (1)求a,b,c的值; (2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直?证明你的结论. |
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