(1)函数f(x)在区间(-1,1)上是奇函数. 证明:∵函数定义域为(-1,1), 令x=y=0得f(0)=0, 令y=-x,则有f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)在区间(-1,1)上是奇函数. (2)设-1<x1<x2<1, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f( ),而x2-x1>0,|x1||x2|<1 ∴1-x1x2>0 ∴>0,又x>0时,f(x)>0, ∴f( )>0,即f(x2)>f(x1), ∴f(x)在区间(-1,1)上是增函数; (3)∵f()=,f()=f(x)+f(y), ∴令x=y=得:f()=2f()=1,即f()=1. 因为函数f(x)在(-1,1)上是增函数,故在[-,]上是增函数, 又f()=1, f(x)<m2-2am+1,对所有x∈[-,],a∈[-1,1]恒成立⇔1<m2-2am+1,对所有x∈[-,],a∈[-1,1]恒成立, 即m2-2am>0,a∈[-1,1]恒成立. 记g(a)=m2-2am,对所有的a∈[-1,1],g(a)>0成立, 只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0.即g(-1)>0;g(1)>0. 解得:m<-2或m=0,或m>2. 故m的取值范围为m<-2,或m=0,或m>2. |