(1)当a=3时,f(x)=-x3+x2-2x,得f"(x)=-x2+3x-2.…(1分) 因为f"(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以当1<x<2时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x<1或x>2时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).…(3分) (2)方法1:由f(x)=-x3+x2-2x,得f"(x)=-x2+ax-2, 因为对于任意x∈[1,+∞)都有f"(x)<2(a-1)成立, 即对于任意x∈[1,+∞)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立, 即对于任意x∈[1,+∞)都有x2-ax+2a>0成立,…(4分) 令h(x)=x2-ax+2a, 要使对任意x∈[1,+∞)都有h(x)>0成立, 必须满足△<0或…(5分) 即a2-8a<0或…(6分) 所以实数a的取值范围为(-1,8).…(7分) 方法2:由f(x)=-x3+x2-2x,得f"(x)=-x2+ax-2, 因为对于任意x∈[1,+∞)都有f"(x)<2(a-1)成立, 所以问题转化为,对于任意x∈[1,+∞)都有[f"(x)]max<2(a-1).…(4分) 因为f′(x)=-(x-)2+-2,其图象开口向下,对称轴为x=. ①当<1时,即a<2时,f"(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以f"(x)max=f"(1)=a-3, 由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a<2.…(5分) ②当≥1时,即a≥2时,f"(x)在[1,]上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 所以f′(x)max=f′()=-2, 由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2≤a<8.…(6分) 综上①②可得,实数a的取值范围为(-1,8).…(7分) (3)设点P(t,-t3+t2-2t)是函数y=f(x)图象上的切点, 则过点P的切线的斜率为k=f"(t)=-t2+at-2,…(8分) 所以过点P的切线方程为y+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(x-t).…(9分) 因为点(0,-)在切线上, 所以-+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(0-t), 即t3-at2+=0.…(10分) 若过点(0,-)可作函数y=f(x)图象的三条不同切线, 则方程t3-at2+=0有三个不同的实数解.…(11分) 令g(t)=t3-at2+,则函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点. 令g"(t)=2t2-at=0,解得t=0或t=.…(12分) 因为g(0)=,g()=-a3+, 所以必须g()=-a3+<0,即a>2.…(13分) 所以实数a的取值范围为(2,+∞).…(14分) |